Materialien zum Unterricht

Darstellung von Zahlen

Computer müssen Daten eindeutig durch Zahlen darstellen.
Wir Menschen verwenden normalerweise das Dezimalsystem, Computer arbeiten dagegen mit dem Binärsystem.

Unser Dezimalsystem

Unser Zahlensystem verwendet die zehn Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.

Unsere zehn Finger sind vermutlich ein Grund dafür, dass sich ein Zahlensystem mit zehn Ziffern entwickelt hat.

Ziffern von 0 bis 9

Mit den zehn Ziffern 0 bis 9 lassen sich alle Zahlen darstellen.
Ist die 9 erreicht, beginnt eine neue Stelle: 10, 11, 12, ...

Die Anzahl der verwendeten Ziffern bestimmt die Basis eines Zahlensystems.
Das Dezimalsystem hat die Basis 10.

Das Dezimalsystem hat die Basis 10 und ist ein Stellenwertsystem.
Der Wert einer Ziffer hängt davon ab, an welcher Stelle sie steht.

Potenzdarstellung im Dezimalsystem

Die Stellenwerte des Dezimalsystems sind Potenzen der Basis 10.

Stelle Tausender Hunderter Zehner Einer
Potenz 103 102 101 100
Wert 1000 100 10 1

Für jede Zahl ungleich 0 gilt: a0 = 1.
Deshalb ist auch 100 = 1.

Beispiel: 6314

103 102 101 100
6 3 1 4

6314 = 6 · 103 + 3 · 102 + 1 · 101 + 4 · 100
6314 = 6000 + 300 + 10 + 4

Kartendarstellung im Dezimalsystem

Das Binärsystem

Computer arbeiten vereinfacht mit zwei Zuständen:

Zustand Binärziffer
aus 0
ein 1

Ein solcher Zustand kann durch ein Bit dargestellt werden.
Ein Bit kann genau zwei Werte annehmen: 0 oder 1.

Das Binärsystem hat die Basis 2 und ist ebenfalls ein Stellenwertsystem.
Es verwendet nur die Ziffern 0 und 1.

Potenzdarstellung im Binärsystem

Die Stellenwerte des Binärsystems sind Potenzen der Basis 2.

Stelle Bit 3 Bit 2 Bit 1 Bit 0
Potenz 23 22 21 20
Wert 8 4 2 1

Beispiel: 11012

23 22 21 20
1 1 0 1

11012 = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20
11012 = 8 + 4 + 0 + 1
11012 = 1310

Übernimm den Abschnitt "Potenzdarstellung im Binärsystem" in dein Heft.

Kartendarstellung im Binärsystem

Binärzahlen interaktiv

Probiere nun selbst aus, wie sich die einzelnen Bits auf den Wert einer Binärzahl auswirken.
Schalte dazu die Bits an und aus und beobachte den Dezimalwert.

Achte besonders auf die Stellenwerte 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2 und 1.
Bearbeite anschließend einige der Missionen.

In der Anwendung arbeitest du mit 8 Bit.
Das Prinzip bleibt gleich:
Zu den Stellenwerten 8, 4, 2 und 1 kommen links noch 16, 32, 64 und 128 hinzu.

Interaktiv: Binärzahlen

Übung

Welche Dezimalzahl wird durch die Binärzahl 1010 dargestellt?

Wie viele Werte kann man mit Bits darstellen?

Jedes zusätzliche Bit verdoppelt die Anzahl der möglichen Kombinationen.

Anzahl Bits Mögliche Kombinationen Darstellbare Werte
1 Bit 2 0 bis 1
2 Bit 4 0 bis 3
3 Bit 8 0 bis 7
4 Bit 16 0 bis 15
8 Bit 256 0 bis 255

Um die Dezimalziffern 0 bis 9 binär darzustellen, benötigt man mindestens 4 Bit.

Wie viele unterschiedliche Kombinationen lassen sich mit 6 Bit darstellen?
Welcher ist der größte darstellbare Wert, wenn nur nichtnegative ganze Zahlen betrachtet werden?

Sekundarstufe II

Für Klasse 7 endet der Pflichtbereich hier.
Die folgenden Inhalte sind weiterführend.

Online zum selbstlernen: Kapitel 1 - Bits & Zahlensysteme

Das Hexadezimalsystem - Sekundarstufe II

Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16.
Es verwendet 16 verschiedene Ziffern: 0 bis 9 sowie A, B, C, D, E und F.

Potenzdarstellung im Hexadezimalsystem

Auch hier sind die Stellenwerte Potenzen der Basis:

Stelle 162 161 160
Wert 256 16 1
Beispiel: 2F

Im Hexadezimalsystem entspricht F dem Dezimalwert 15.

2F16 = 2 · 161 + 15 · 160
2F16 = 32 + 15
2F16 = 4710

Vom Binärsystem zum Hexadezimalsystem

4 Bit = 1 Nibble
Mit 4 Bit lassen sich genau 16 unterschiedliche Kombinationen darstellen.
Da das Hexadezimalsystem ebenfalls 16 verschiedene Ziffern besitzt, lässt sich jede 4-Bit-Gruppe besonders praktisch durch genau eine Hexadezimalziffer darstellen.

Lange Folgen aus Nullen und Einsen sind für Menschen schwer zu lesen und beim Schreiben oder Ansagen leicht fehleranfällig.
Hexadezimalzahlen sind deshalb eine kompakte und übersichtliche Schreibweise für Binärdaten.

1010 11112 = AF16

Ein Byte besteht aus 8 Bit und damit aus 2 Nibbles.
Ein Byte kann deshalb immer mit genau 2 Hexadezimalziffern dargestellt werden.

Binär Dezimal Hexadezimal
0000 0 0
0001 1 1
0010 2 2
0011 3 3
0100 4 4
0101 5 5
0110 6 6
0111 7 7
1000 8 8
1001 9 9
1010 10 A
1011 11 B
1100 12 C
1101 13 D
1110 14 E
1111 15 F

Hexadezimalzahlen in der Praxis

Nachdem wir gesehen haben, wie Binärzahlen in Hexadezimalzahlen umgewandelt werden, schauen wir uns nun typische Anwendungen an.

Hexadezimale Farbcodes

Bei einem RGB-Farbcode werden die Werte für Rot, Grün und Blau jeweils durch zwei Hexadezimalziffern dargestellt:

#RRGGBB
RR = Rot
GG = Grün
BB = Blau

Hex-Farbcode Rot Grün Blau Farbe
#FF0000 FF 00 00 Rot
#00FF00 00 FF 00 Grün
#0000FF 00 00 FF Blau
#800020 80 00 20 Bordeaux

Da ein Farbkanal 8 Bit umfasst, besteht er aus 2 Nibbles.
Deshalb reichen genau 2 Hexadezimalziffern für jeden RGB-Farbkanal aus.

Übung zum Hexadezimalsystem

Wandle die Binärzahlen in Hexadezimalzahlen um:
a) 11112
b) 10102
c) 1100 00112