Materialien zum Unterricht

Rechnen mit Binärzahlen

Zahlen werden im Computer binär dargestellt.
Genau wie mit Dezimalzahlen kann man auch mit Binärzahlen rechnen.

Wenn wir zum Beispiel mit 4 Bit arbeiten, wird die Dezimalzahl 7 als 01112 dargestellt.

Binäre Addition

Für die Addition von Binärzahlen gelten vier Grundregeln:

  1. 0 + 0 = 0
  2. 0 + 1 = 1
  3. 1 + 0 = 1
  4. 1 + 1 = 0
    5. Übertrag 1

Bei 1 + 1 wird eine 0 notiert und eine 1 als Übertrag an die nächste Stelle weitergegeben.

Beispiel 1:

3 + 4

  0 0 1 1
+ 0 1 0 0
  0 1 1 1

00112 + 01002 = 01112

Das entspricht im Dezimalsystem: 3 + 4 = 7.

Beispiel 2:

3 + 5

  0 0 1 1
+ 0 1 0 1
  1 0 0 0

00112 + 01012 = 10002

Das Ergebnis entspricht der Dezimalzahl 8.

Hier treten mehrere Überträge hintereinander auf.

Beispiel 3:

9 + 8

  1 0 0 1
+ 1 0 0 0
1 0 0 0 1

Das korrekte Ergebnis lautet 100012 und entspricht der Dezimalzahl 17.

Bei einer festen Darstellung mit 4 Bit ohne Vorzeichen können nur die Werte von 0 bis 15 dargestellt werden.
Für das Ergebnis 17 werden deshalb 5 Bit benötigt.

Ein Überlauf (Overflow) tritt auf, wenn das Ergebnis einer Berechnung mit der verfügbaren Anzahl an Bits nicht dargestellt werden kann.

Übung

Berechne die folgenden Binärzahlen.
Achte auf mögliche Überträge und einen möglichen Überlauf.
a) 00102 + 01012
b) 01102 + 00112
c) 11002 + 01012

Weiterführende Inhalte – Sekundarstufe II

Für Klasse 7 endet der Pflichtbereich hier.
Die folgenden Inhalte sind weiterführend.

Negative Binärzahlen und Zweierkomplement

Auch negative ganze Zahlen können binär dargestellt werden.
Computer verwenden dafür häufig das Zweierkomplement.

Die Bedeutung einer Bitfolge hängt beim Zweierkomplement von der festgelegten Bitbreite ab.

Beispiel:

-3 mit 4 Bit darstellen

  1. Die positive Zahl darstellen:
    3 = 0011
  2. Alle Bits umkehren:
    0011 → 1100
  3. Eins addieren:
    1100 + 1 = 1101

Im 4-Bit-Zweierkomplement wird -3 als 1101 dargestellt.

Mit 4 Bit lassen sich im Zweierkomplement die ganzen Zahlen von -8 bis +7 darstellen.

Subtraktion durch Addition

Eine Subtraktion kann als Addition einer negativen Zahl ausgeführt werden.

Beispiel:

5 - 3

5 = 0101
-3 = 1101

  0 1 0 1
+ 1 1 0 1
1 0 0 1 0

Bei einer festen 4-Bit-Darstellung wird der zusätzliche Übertrag verworfen.
Es bleibt:
0010 = 2

Eine Subtraktion kann als Addition der entsprechenden negativen Zahl durchgeführt werden.
Dadurch kann der Computer für Addition und Subtraktion dasselbe Rechenverfahren verwenden.

5 - 3 = 5 + (-3) = 2

Weitere Erklärung zur Subtraktion

Multiplikation und Division

Bei nichtnegativen Binärzahlen kann eine Verschiebung der Bits genutzt werden.

Multiplikation mit 2

Eine Verschiebung um eine Stelle nach links entspricht einer Multiplikation mit 2, solange dabei kein Überlauf entsteht.

0011 = 3
↓
0110 = 6

Weitere Erklärung zur Multiplikation

Ganzzahlige Division durch 2

Eine Verschiebung um eine Stelle nach rechts entspricht bei nichtnegativen ganzen Zahlen einer ganzzahligen Division durch 2.

1100 = 12
↓
0110 = 6

Weitere Erklärung zur Division

Datenbreite

Die Bitbreite gibt an, wie viele Bits gemeinsam verarbeitet oder dargestellt werden.
Häufige Bitbreiten sind zum Beispiel 8 Bit, 16 Bit, 32 Bit und 64 Bit.

Bitbreite Darstellbare Werte ohne Vorzeichen
4 Bit 0 bis 15
8 Bit 0 bis 255
16 Bit 0 bis 65.535
32 Bit 0 bis 4.294.967.295

Eine größere Bitbreite ermöglicht unter anderem, größere Zahlen direkt darzustellen.
Bei modernen Prozessoren beschreibt die Angabe „64 Bit“ jedoch mehr als nur die Größe einer einzelnen Zahl.

Übung Sekundarstufe II

Stelle die Zahl -5 im 4-Bit-Zweierkomplement dar.